Question

15．如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，AC=BC，∠ACD=90°．
（1）求证：AB⊥平面EDC；
（2）若P为FG上任一点，证明：EP∥平面BCD．

Answer 1

分析 （1）推导出CD⊥AC，从而CD⊥平面ABC，进而CD⊥AB，再求出CE⊥AB，CE⊥AB，由此能证明AB⊥平面EDC．
（2）连结EF、EG，推导出EF∥平面BCD，EG∥平面BCD，从而平面EFG∥平面BCD，由此能证明EP∥平面BCD．

解答 证明：（1）∵平面ABC⊥平面ACD，∠ACD=90°，
∴CD⊥AC，
∵平面ABC∩平面ACD=AC，CD?平面ACD，
∴CD⊥平面ABC，
又AB?平面ABC，∴CD⊥AB，
∵AC=BC，E为AB的中点，∴CE⊥AB，
又CE∩CD=C，CD?平面EDC，CE?平面EDC，
∴AB⊥平面EDC．
（2）连结EF、EG，∵E、F分别为AB、AD的中点，
∴EF∥BD，又BD?平面BCD，EF?平面BCD，
∴EF∥平面BCD，
同理可EG∥平面BCD，且EF∩EG=E，EF、EG?平面BCD，
∴平面EFG∥平面BCD，
∵P是FG上任一点，∴EP?平面EFG，
∴EP∥平面BCD．

点评 本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．