Question

6．若正实数x，y满足x+y=1，则$\frac{y}{x}+\frac{4}{y}$的最小值是8．

Answer 1

分析 根据题意，将$\frac{y}{x}+\frac{4}{y}$变形可得则$\frac{y}{x}+\frac{4}{y}$=$\frac{1-x}{x}$+$\frac{4}{y}$=$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$-1=（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）-1=（1+4+$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$）-1=（$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$）+4，由基本不等式分析可得答案．

解答 解：根据题意，x，y满足x+y=1，
则$\frac{y}{x}+\frac{4}{y}$=$\frac{1-x}{x}$+$\frac{4}{y}$=$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$-1=（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）-1=（1+4+$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$）-1=（$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$）+4≥2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}$+4=8，
即$\frac{y}{x}+\frac{4}{y}$的最小值是8；
故答案为：8．

点评 本题考查基本不等式的应用，关键是将$\frac{y}{x}+\frac{4}{y}$变形为（$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$）+4．