Question

5．已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=a+tcosθ\\ y=tsinθ\end{array}\right.（t$为参数，θ为倾斜角），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，在极坐标系中，曲线的方程为ρ-ρcos²θ-4cosθ=0．
（1）写出曲线C的直角坐标方程；
（2）点Q（a，0），若直线l与曲线C交于A、B两点，求使$\frac{1}{{{{|{QA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{QB}|}^2}}}$为定值的值．

Answer 1

分析 （1）极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对于关系得出直角坐标方程；
（2）把直线l的参数方程代入曲线C的方程，利用根与系数的关系和参数的几何意义化简即可得出结论．

解答 解：（1）∵ρ-ρcos²θ-4cosθ=0，∴ρ²-ρ²cos²θ-4ρcosθ=0，
∴x²+y²-x²-4x=0，即y²=4x．
（2）把为$\left\{\begin{array}{l}x=a+tcosθ\\ y=tsinθ\end{array}\right.（t$为参数，θ为倾斜角）代入y²=4x得：
sin²θ•t²-4cosθ•t-4a=0，
∴t₁+t₂=$\frac{4cosθ}{si{n}^{2}θ}$，t₁t₂=-$\frac{4a}{si{n}^{2}θ}$，
∴$\frac{1}{{{{|{QA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{QB}|}^2}}}$=$\frac{1}{{{t}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{t}_{2}}^{2}}$=$\frac{{{t}_{1}}^{2}+{{t}_{2}}^{2}}{{{t}_{1}}^{2}{{t}_{2}}^{2}}$=$\frac{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-2{t}_{1}{t}_{2}}{{{t}_{1}}^{2}{{t}_{2}}^{2}}$=$\frac{16co{s}^{2}θ+8asi{n}^{2}θ}{16{a}^{2}}$，
∴当a=2时，$\frac{1}{{{{|{QA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{QB}|}^2}}}$为定值$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了参数方程的几何意义，极坐标与直角坐标的转化，属于中档题．