Question

11．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若圆O：x²+y²=1的切线l与曲线C相交于A、B两点，线段AB的中点为M，求|OM|的最大值．

Answer 1

分析 （I）根据条件列方程组解出a，b即可得出椭圆的方程；
（II）设直线l方程为x=my+t，联立方程组消元，利用根与系数的关系求出M的坐标，根据距离公式求出|OM|的最值．

解答 解：（ I）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2b=2}\\{{a}^{2}-{b}^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1．
∴椭圆C的标准方程$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（ II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
若直线l的斜率为0，则l方程为y=±1，此时直线l与椭圆只有1个交点，不符合题意；
设直线l：x=my+t．
∵l与圆O相切，∴$\frac{{|{-t}|}}{{\sqrt{1+{m^2}}}}=1$，即t²=m²+1；
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+4{y^2}=4\\ x=my+t\end{array}\right.$，消去x，得（m²+4）y²+2mty+t²-4=0，
则△=4m²t²-4（t²-4）（m²+4）=16（m²-t²+4）=48＞0，
∴${y_1}+{y_2}=-\frac{2mt}{{{m^2}+4}}$，∴${y_0}=-\frac{mt}{{{m^2}+4}}$，${x_0}=m{y_0}+t=\frac{4t}{{{m^2}+4}}$，即$M（\frac{4t}{{{m^2}+4}}，-\frac{mt}{{{m^2}+4}}）$，
∴${|{OM}|^2}={（\frac{4t}{{{m^2}+4}}）^2}+{（\frac{mt}{{{m^2}+4}}）^2}=\frac{{{t^2}（{m^2}+16）}}{{{{（{m^2}+4）}^2}}}=\frac{{（{m^2}+1）（{m^2}+16）}}{{{{（{m^2}+4）}^2}}}$，
设x=m²+4，则x≥4，${|{OM}|^2}=\frac{（x-3）（x+12）}{x^2}=-\frac{36}{x^2}+\frac{9}{x}+1=-36{（\frac{1}{x}-\frac{1}{8}）^2}+\frac{25}{16}≤\frac{25}{16}$，
∴当x=8时等号成立，|OM|取得最大值$\sqrt{\frac{25}{16}}$=$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，注意根与系数的关系应用，属于中档题，