题目内容
△ABC中，
tanBtanC-tanB-tanC=
，sin（B-C）=cosBsinC，则
= ．
| 3 |
| 3 |
| sinB |
| sinC |
考点：两角和与差的正弦函数,两角和与差的正切函数
专题：三角函数的求值
分析：由条件求得 tan（B+C）=-
，可得 B+C=
，A=
．由sin（B-C）=cosBsinC，求得sinA=3cosBsinC．再由正弦定理、余弦定理可得a2+3c2-3b2=0，再根据a2=b2+c2-bc，可得2b2+bc-4c2=0，即 2(
)2+
-4=0，由此求得
=
的值．
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| b |
| c |
| b |
| c |
| b |
| c |
| sinB |
| sinC |
解答：
解：△ABC中，∵
tanBtanC-tanB-tanC=
，即tanB+tanC=-
（1-tanBtanC），∴tan（B+C）=
=-
，
∴B+C=
，∴A=
．
∵sin（B-C）=sinBcosC-cosBsinC=cosBsinC，∴sinBcosC=2cosBsinC，
∴sin（B+C）=3cosBsinC，即sinA=3cosBsinC．
再由正弦定理可得 a=3c•cosB=3c•
，∴a2+3c2-3b2=0．
再根据a2=b2+c2-2bc•cosA=b2+c2-bc，可得2b2+bc-4c2=0，即 2(
)2+
-4=0，∴
=
=
．
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| tanB+tanC |
| 1-tanBtanC |
| 3 |
∴B+C=
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∵sin（B-C）=sinBcosC-cosBsinC=cosBsinC，∴sinBcosC=2cosBsinC，
∴sin（B+C）=3cosBsinC，即sinA=3cosBsinC．
再由正弦定理可得 a=3c•cosB=3c•
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
再根据a2=b2+c2-2bc•cosA=b2+c2-bc，可得2b2+bc-4c2=0，即 2(
| b |
| c |
| b |
| c |
| b |
| c |
| sinB |
| sinC |
| ||
| 4 |
点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，等差数列的定义和性质，两角和差的三角公式，已知三角函数值求角的大小，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
“m∈（2，6）”是“方程
+
=1为椭圆方程”的（ ）
| x2 |
| m-2 |
| y2 |
| 6-m |
| A、充分不必要条件 |
| B、必要不充分条件 |
| C、充要条件 |
| D、既不充分也不必要条件 |