Question

若函数f（x）=（x²+ax+b）e^x，（a，b∈R）在区间（-2，0）上有两个不同的极值点，则2a+b的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：函数f（x）=（x²+ax+b）e^x，（a，b∈R）在区间（-2，0）上有两个不同的极值点?f′（x）=0在区间（-2，0）上有两个不同的零点?g（x）=x²+（a+2）x+a+b=0在区间（-2，0）上有两个不同的实数根，
可得△=（a+2）²-4（a+b）＞0，-2＜-

a+2

2

＜0，g（-2）＞0，g（0）＞0．化简即可得出a，b满足的约束条件，画出可行域，即可得出目标函数的取值范围．

解答： 解：f′（x）=[x²+（a+2）x+a+b]e^x，
函数f（x）=（x²+ax+b）e^x，（a，b∈R）在区间（-2，0）上有两个不同的极值点
?f′（x）=0在区间（-2，0）上有两个不同的零点
?g（x）=x²+（a+2）x+a+b=0在区间（-2，0）上有两个不同的实数根，
∴△=（a+2）²-4（a+b）＞0，-2＜-

a+2

2

＜0，g（-2）＞0，g（0）＞0．
化为

a2+4-4b＞0 -2＜a＜2 a+b＞0 a＜b

．
画出可行域：
联立

a2+4-4b=0 a-b=0

解得a=b=2．
联立

a2+4-4b=0 a-b=0

，解得a=-2，b=2．
设2a+b=t，则b=-2a+t，
当此直线经过点（2，2）时，t=2×2+2=6，取得最大值；
当此直线经过点（-2，2）时，t=2×（-2）+2=-2，取得最小值．
∴-2＜2a+b＜6．
故2a+b的取值范围是（-2，6）．
故答案为：（-2，6）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的性质、一元二次方程在给出的区间上有实数根的求法、约束条件、可行域、目标函数的最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．