Question

已知P是双曲线C：

x2

16

-

y2

9

=1一点，F₁，F₂是双曲线的两个焦点，且cos∠F₁PF₂=

2

3

，则△F₁PF₂的面积为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据双曲线定义得到|m-n|=2a=8，结合cos∠F₁PF₂=

2

3

，可得m²+n²-2mn×

2

3

=（2c）²=100，求出|PF₁|与|PF₂|的长，即可得到结论，

解答： 解：∵P在双曲线上，设|PF₁|=m；|PF₂|=n，
∴|m-n|=2a=8…（1）
由cos∠F₁PF₂=

2

3

，可得m²+n²-2mn×

2

3

=（2c）²=100…（2）
（1）²-（2）得：mn=54，
∵cos∠F₁PF₂=

2

3

，
∴sin∠F₁PF₂=

5

3

，
∴△F₁PF₂的面积为

1

2

×54×

5

3

=9

5

．
故答案为：9

5

．

点评：本题主要考查双曲线的基本性质．在涉及到与焦点有关的题目时，一般都用定义求解．