Question

已知函数f（x）=x•（1+lnx），（x＞0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若k（x-2）＜f（x）对任意x≥32恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）利用参数分离法，将不等式k（x-2）＜f（x）对任意x≥32恒成立，转化为求函数的最值问题，即可求k的取值范围．

解答： 解：（1）因为f′（x）=lnx+2，
令f′（x）=lnx+2＞0，得x＞

1

e2

；
令f′（x）=lnx+2＜0，得0＜x＜

1

e2

；
所以f（x）的递增区间为（

1

e2

，+∞），f（x）的递减区间为（0，

1

e2

）．
（2）解：由（1）知，f（x）=x•（1+lnx），所以k（x-2）＜f（x）对任意x≥32恒成立，
即k＜

x+xlnx

x-2

对任意x≥32恒成立．
令g（x）=

x+xlnx

x-2

，则g′（x）=

-2lnx+x-4

(x-2)2

，
令h（x）=-2lnx+x-4，（x≥32）则h′（x）=

x-2

x

＞0在x≥32恒成立，
所以函数h（x）在x≥32上单调递增．
因为h（32）=28-10ln2＞0，所以g′（x）＞0在x≥32恒成立
g（x）_min=g（32）=

16

15

(1+5ln2)，
∴k＜

16

15

(1+5ln2)．

点评：本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及不等式恒成立问题，利用参数分离法是解决不等式恒成立问题的基本方法．考查学生的运算能力．