Question

已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0．
（1）令ω=

1

2

，求函数F（x）=f（x）+f（x+π）的单调区间；
（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移

π

6

个单位，再往上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．对任意的a∈R，求y=g（x）在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的单调性

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）当ω=

1

2

时，利用诱导公式和和差角公式，可将（x）的解析式化为：F(x)=2

2

sin(

x

2

+

π

4

)，进而结合正弦函数的单调性，可得答案；
（2）ω=2时，f（x）=2sin2x，利用函数图象变化法则，求出函数y=g（x）的解析式，再由正弦函数的图象和性质，可得y=g（x）在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2sin（ωx），当ω=

1

2

时，

F(x)=f(x)+f(x+π)=2sin x 2 +2sin( x 2 + π 2 ) =2sin x 2 +2cos x 2 =2 2 sin( x 2 + π 4 )

由-

π

2

+2kπ≤

x

2

+

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z得：
x∈[-

3π

2

+4kπ，

π

2

+4kπ]，(k∈Z)，
即得f（x）的递增单调区间为：[-

3π

2

+4kπ，

π

2

+4kπ]，(k∈Z)，
由

π

2

+2kπ≤

x

2

+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z得：
x∈[

π

2

+4kπ，

5π

2

+4kπ](k∈Z)，
即得f（x）的递减单调区间为：[

π

2

+4kπ，

5π

2

+4kπ](k∈Z)，
（2）当ω=2时，f（x）=2sin2x，
将函数y=f（x）的图象向左平移

π

6

个单位，再往上平移1个单位，
可得y=g（x）=2sin2（x+

π

6

）+1=2sin（2x+

π

3

）+1的图象，
∵ω=2，
∴函数g（x）的最小正周期T=π，
由2sin（2x+

π

3

）+1=0，得sin（2x+

π

3

）=-

1

2

，
∴2x+

π

3

=kπ-（-1）^k•

π

6

，k∈Z，
即x=

kπ

2

-（-1）^k•

π

12

-

π

6

，k∈Z，
区间[a，a+10π]的长度为10个周期，
若零点不在区间的端点，则每个周期有2个零点；
若零点在区间的端点，则仅在区间左或右端点处得一个区间含3个零点，其它区间仍是2个零点；
故当a=

kπ

2

-（-1）^k•

π

12

-

π

6

，k∈Z时，21个，否则20个．

点评：本题考查的知识点是两角差的正弦函数公式，正弦型函数的单调性，周期性，函数的零点，是三角函数图象和性质的综合应用，难度较大．