Question

已知函数f（x）=2x²-4x+a，g（x）=log_ax（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）若函数f（x）在[-1，2m]上不具有单调性，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若f（1）=g（1）．
  （ⅰ）求实数a的值；
  （ⅱ）设t1=

1

2

f(x)，t₂=g（x），t3=2x，当x∈（0，1）时，试比较t₁，t₂，t₃的大小．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）可得抛物线的对称轴为x=1，由题意可得-1＜1＜2m；
（Ⅱ）（i）由题意可得f（1）=0，即-2+a=0；（ii）当x∈（0，1）时，易求t₁，t₂，t₃的取值范围，由范围可得大小关系；

解答： 解：（Ⅰ）∵抛物线y=2x²-4x+a开口向上，对称轴为x=1，
∴函数f（x）在（-∞，1]单调递减，在[1，+∞）单调递增，
∵函数f（x）在[-1，2m]上不单调，
∴2m＞1，得m＞

1

2

，
∴实数m的取值范围为(

1

2

，+∞)；
（Ⅱ）（ⅰ）∵f（1）=g（1），
∴-2+a=0，
∴实数a的值为2．
（ⅱ）∵t1=

1

2

f(x)=x2-2x+1=(x-1)2，t₂=g（x）=log₂x，t3=2x，
∴当x∈（0，1）时，t₁∈（0，1），t₂∈（-∞，0），t₃∈（1，2），
∴t₂＜t₁＜t₃．

点评：本题考查二次函数、对数函数、指数函数的性质图象，考查学生灵活运用知识解决问题的能力，属中档题．熟练掌握常见基本函数的性质是解题关键．