Question

已知奇函数f（x）满足f（-1）=f（3）=0，在区间（-2，0）上是减函数，在区间（2，+∞）是增函数，函数F（x）=

xf(-x)，x＜0 -f(x)，x＞0

，则{x|F（x）＞0}=（　　）

• A、{x|x＜-3，或0＜x＜2，或x＞3}
• B、{x|x＜-3，或-1＜x＜0，或0＜x＜1，或x＞3}
• C、{x|-3＜x＜-1，或1＜x＜3}
• D、{x|x＜-3，或0＜x＜1，或1＜x＜2，或2＜x＜3}

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,综合题,函数的性质及应用

分析：根据奇函数f（x）满足f（-1）=f（3）=0，在区间（-2，0）上是减函数，在区间（2，+∞）是增函数，可得-3＜x＜-1或0＜x＜1，或x＞3时，f（x）＞0；x＜-3或-1＜x＜0或1＜x＜3时，f（x）＜0，再将不等式等价变形，即可得到结论．

解答： 解：∵奇函数f（x）满足f（-1）=f（3）=0，
在区间（-2，0）上是减函数，在区间（2，+∞）是增函数，
∴-3＜x＜-1或0＜x＜1，或x＞3时，f（x）＞0；
x＜-3或-1＜x＜0或1＜x＜3时，f（x）＜0．
∵函数F（x）=

xf(-x)，x＜0 -f(x)，x＞0

，
∴x＞0且-f（x）＞0，或x＜0且xf（-x）＞0时，F（x）＞0，
∴x＞0且f（x）＜0，或x＜0且f（x）＞0时，F（x）＞0，
∴-3＜x＜-1或1＜x＜3，
故选C．

点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．