Question

如图所示，椭圆C：

x2

b2

+

y2

a2

=1(a＞b＞0)的焦点为F₁（0，c），F₂（0，-c）（c＞0），抛物线x²=2py（p＞0）的焦点与F₁重合，过F₂的直线l与抛物线P相切，切点在第一象限，且与椭圆C相交于A，B两点，且

F2B

=λ

AF2

．
（1）求证：切线l的斜率为定值；
（2）若△OEF₂的面积为1，E为直线与曲线的切点，求抛物线C₂的方程；
（3）当λ∈[2，4]时，求椭圆的离心率e的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由于抛物线x²=2py（p＞0）的焦点与F₁重合，可得c=

p

2

．设切点为M（x₀，y₀）（x₀＞0）．由抛物线x²=2py，可得y′=

x

p

，可得切线l的斜率k=

x0

p

．因此切线的方程为：y=

x0

p

x-c，与抛物线的方程联立可得x²-2x₀x+2pc=0，利用△=0，可得x₀=2c，即可证明切线l的斜率为定值．
（2）由（1）可得

x0

p

=1，可得x₀=p．利用S△OEF2=

1

2

|OF2|•|x0|即可得出．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由（1）可得x₀=2c，p=2c，切线方程为y=x-c．与椭圆方程联立可得（a²+b²）x²-2b²cx-b⁴=0，利用根与系数的关系及其向量运算

F2B

=λ

AF2

可得e=

2 (λ-1)

λ+1

=

2

(1-

2

1+λ

)．根据λ∈[2，4]即可得出．

解答： （1）证明：∵抛物线x²=2py（p＞0）的焦点与F₁重合，∴c=

p

2

．
设切点为M（x₀，y₀）（x₀＞0）．由抛物线x²=2py，可得y′=

x

p

，∴切线l的斜率k=

x0

p

．
∴切线的方程为：y=

x0

p

x-c，
联立

y= x0 p x-c x2=2py

，化为x²-2x₀x+2pc=0，
由于△=0，
∴4

x

2 0

-8pc=0，
把p=2c代入可得x₀=2c，
∴切线l的斜率k=

2c

p

=1．
∴切线l的斜率为定值1．

（2）由（1）可得

x0

p

=1，
∴x₀=p．
∵△OEF₂的面积为1，
∴S△OEF2=

1

2

|OF2|•|x0|=

1

2

×

p

2

×p=1，解得p=2．
∴抛物线C₁的方程为：x²=4y．

（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由（1）可得x₀=2c，p=2c，切线方程为y=x-c．
联立

y=x-c b2y2+a2x2=a2b2

，化为（a²+b²）x²-2b²cx-b⁴=0，
∴x1+x2=

2b2c

a2+b2

，x₁x₂=

-b4

a2+b2

．（*）
∵

F2B

=λ

AF2

，
∴x₂=-λx₁．（λ∈[2，4]）．
代入（*）可得x1=

2b2c

(1-λ)(a2+b2)

，
∴

-λ•4b4c2

(1-λ)2(a2+b2)2

=

-b4

a2+b2

，
化为e=

2 (λ-1)

λ+1

=

2

(1-

2

1+λ

)．
∵λ∈[2，4]，
∴e∈[

2

3

，

3 2

5

]．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程联立可得跟与系数的关系、向量运算、切线方程，考查了利用导数研究直线的斜率，考查了推理能力与计算能力，属于难题．