Question

在如图所示的几何体中，四边形ABDE为直角梯形，AE⊥AB，AE∥BD，AC⊥BC，AC=BC=BD=2AE=2，CE=

5

，M是AB的中点．
（1）求证：平面ABDE⊥平面ABC；
（2）求二面角D-CE-M的余弦值；
（3）求三棱锥D-CME的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定,用空间向量求平面间的夹角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由勾股定理可得AE⊥AC，结合AE⊥AB和线面垂直的判定定理可得AE⊥平面ABC，进而由面面垂直的判定定理得到平面ABDE⊥平面ABC；
（2）解法一：连接DM，可证得DM⊥平面CME，过M作MF⊥CE交CE于点F，连接DF，则∠DFM即为二面角D-CE-M的平面角，解三角形求出答案；
解法二：以C为原点，CA，CB分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系．计算出平面CDE的法向量和平面CEM的法向量，利用向量夹角求解；
解法三：以M为原点，MB，MC分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系．计算出平面CDE的法向量和平面CEM的法向量，利用向量夹角求解；
（3）求出三棱锥D-CME的底面面积和高，代入体积公式，求解．

解答： 证明：（1）∵AC=2AE=2，CE=

5

，
∴AE²+AC²=CE²，即AE⊥AC；
又AE⊥AB，AB∩AC=C；
∴AE⊥平面ABC；
∵AE?平面ABDE；
∴平面ABDE⊥平面ABC…（4分）
（2）解法一：连接DM，可证得DM⊥平面CME，
过M作MF⊥CE交CE于点F，连接DF，
则∠DFM即为二面角D-CE-M的平面角．

计算得：DM=

6

，MF=

6 5

，DF=

6

5

．∴cos∠DFM=

MF

DF

=

6

6

…（9分）
解法二：以C为原点，CA，CB分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系．
计算得，平面CDE的法向量

m

=(1，2，-2)；
平面CEM的法向量

n

=(1，-1，-2)．cos＜

m

，

n

＞=…=

6

6

，
所以，二面角D-CE-M的余弦值为 

6

6

．
解法三：以M为原点，MB，MC分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系．
计算得，平面CDE的法向量

m

=(-1，3，2

2

)；
平面CEM的法向量

n

=(1，0，

2

)．
cos＜

m

，

n

＞=

6

6

所以，二面角D-CE-M的余弦值为 

6

6

．
（3）VD-CME=

1

3

•S△CME•MD=

1

3

•

1

2

•MC•ME•MD=

1

6

•

2

•

3

•

6

=1…（14分）

点评：本题主要考查空间中的基本关系，考查线面垂直、面面垂直的判定以及线面角和几何体体积的计算，考查识图能力、空间想象能力和逻辑推理能力．