Question

已知f（x）是定义域在R上的奇函数，若x＞0时，f（x）=x³-

1

x-3

，则f（x）在R上的解析式是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：f（x）在R上是奇函数，所以f（0）=0，要求f（x）在R上的解析式还需求x＜0时f（x）解析式：设x＜0，-x＞0，所以f（-x）=-x3-

1

-x-3

=-f(x)，所以这即可求出x＜0的解析式，所以最后分段写出f（x）在R上的解析式即可．

解答： 解：设x＜0，-x＞0，则：
f（-x）=(-x)3-

1

-x-3

=-x3+

1

x+3

=-f（x）；
∴f（x）=x3-

1

x+3

；
又f（0）=0；
∴f（x）在R上的解析式为：f（x）=

x3- 1 x+3 x＜0 0 x=0 x3- 1 x-3 x＞0

．
故答案为：f(x)=

x3- 1 x+3 x＜0 0 x=0 x3- 1 x-3 x＞0

．

点评：考查奇函数的定义，已知x＞0的f（x）的解析式求x＜0的f（x）解析式的方法，奇函数定义域包括x=0时，f（0）=0，以及分段函数的概念及表示．