Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2，na_n+1=S_n+

n(n+1)

3

．从{a_n}中抽出部分项a_k1，a_k2，…，a_kn，…，（k₁＜k₂＜…＜k_n＜…）组成的数列{a_kn}是等比数列，设该等比数列的公比为2，其中k₁=1，n∈N^*．
（Ⅰ）求证数列{a_n}是等差数列，并求a_n；
（Ⅱ）求数列{a_n（k_n+2）}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）首先利用递推关系式证明数列an+1-an=

2

3

满足等差数列．
（Ⅱ）利用上部结论得到an=

2n

3

+

4

3

，进一步求出kn=3•2n-1-2，最后利用乘公比错位相减法求数列的和．

解答： 证明：（Ⅰ）由已知条件知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2，na_n+1=S_n+

n(n+1)

3

①．
则：(n-1)an=Sn-1+

n(n-1)

3

②
所以：①-②得：nan+1-nan=

2n

3

解得：an+1-an=

2

3

所以数列{a_n}是等差数列．
解：（Ⅱ）由于an+1-an=

2

3

an=2+

2

3

(n-1)=

2n

3

+

4

3

从{a_n}中抽出部分项a_k1，a_k2，…，a_kn，…，组成的数列{a_kn}是等比数列，
设该等比数列的公比为2，其中k₁=1
所以：an=2•2n-1
由于在某一项是对应相等
所以：

2m

3

+

4

3

=2•2n-1
解得：m=3•2^n-1-2
即：kn=3•2n-1-2
设c_n=a_n•（k_n+2）=（n+2）2ⁿ
T_n=c₁+c₂+…+c_n
T_n=3•2¹+4•2²+…+（n+1）2^n-1+（n+2）2ⁿ①
2Tn=3•22+…+(n+1)2n+（n+2）2ⁿ⁺¹②
所以：①-②得：
Tn=(n+2)2n+1-2n+1-2+4
即：Tn=(n+1)2n+1-2n+1+2

点评：本题考查的知识要点：等差数列和等比数列通项公式的应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，属于基础题型．