Question

4．已知函数f（x）=$\frac{{{2^x}-a}}{{{2^x}+a}}$（a＞0）在其定义域上为奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明．

Answer 1

分析 （1）由f（-x）=-f（x）得$\frac{{{2^{-x}}-a}}{{{2^{-x}}+a}}=-\frac{{{2^x}-a}}{{{2^x}+a}}$，解得a的值；
（2）函数f（x）在R上是增函数，
证法一：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，作差比较f（x₁），f（x₂）的大小，利用函数单调性的定义，可得f（x）是R上的增函数；
证法二：求导，根据′（x）＞0恒成立，可得：f（x）是R上的增函数；

解答 解：（1）由f（-x）=-f（x）得$\frac{{{2^{-x}}-a}}{{{2^{-x}}+a}}=-\frac{{{2^x}-a}}{{{2^x}+a}}$，解得a=±1．
由因为a＞0，所以a=1．…（5分）
（2）函数f（x）在R上是增函数，证明如下：…（6分）
证法一：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，易知$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}=1-\frac{2}{{{2^x}-1}}$，
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=-\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}+\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}=\frac{{2（{{2^{x_1}}-{2^{x_2}}}）}}{{（{{2^{x_1}}+1}）（{{2^{x_2}}+1}）}}$．…（9分）
因为x₁＜x₂，所以${2^{x_1}}＜{2^{x_2}}$，
所以f（x₁）＜f（x₂），即f（x）是R上的增函数..…（12分）
证法二：∵$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}=1-\frac{2}{{{2^x}-1}}$，
∴$f′（x）=\frac{ln2•{2}^{x+1}}{{（2}^{x}-1）^{2}}$，
∵f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）是R上的增函数；

点评 本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性，难度中档．