Question

设各项均为正整数的无穷等差数列{a_n}，满足a₅₄=2014，且存在正整数k，使a₁，a₅₄，a_k成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为

 

．

Answer 1

考点：等比数列的性质,等差数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：由a₅₄=2014，可得a₁+53d=2014，即

a1

53

+d=38，d＞0，且为正整数，可得a₁是53的倍数，a₁，a₅₄，a_k成等比数列，则a₅₄²=a₁a_k=2×2×19×19×53×53，分类讨论，可得结论．

解答： 解：∵a₅₄=2014，∴a₁+53d=2014，
∴

a1

53

+d=38，d＞0，且为正整数，
∴a₁是53的倍数，
∵a₁，a₅₄，a_k成等比数列，
∴a₅₄²=a₁a_k=2×2×19×19×53×53
（1）若a₁=53，53+53d=2014，d=37，
（2）若a₁=2×53，106+53d=2014，d=36，
（3）若a₁=4×53，212+53d=2014，d=34
（4）a₁=1007，1007+53d=2014，53d=1007，d=19
∴公差d的所有可能取值之和为37+36+34+19=126．
故答案为：126．

点评：本题考查等比数列的性质，考查分类讨论的数学思想，确定a₁是53的倍数是关键．