Question

已知数列{a_n}满足a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*），若对任意的n∈N^*，都有a_n²+a_n+1²≥20n-15成立，则a₁的取值范围是

 

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Answer 1

考点：数列递推式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：由a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*），得a_n+2+a_n+1=4n+1，两式相减得出a_n+2-a_n=4．分n为奇数、n为偶数两种情况进行讨论，可分别求得a_n，a_n+1，进而可表示出不等式a_n²+a_n+1²≥20n-15，分离出a₁后化为最值可解．

解答： 解：∵a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*），
∴a_n+2+a_n+1=4n+1，
两式相减得出a_n+2-a_n=4．
（1）当n为奇数时，令n=2k-1（k∈N^*），
则有a_2k+1-a_2k-1=4．
∴a_n=a_2k-1=a₁+（k-1）×4=2n+a₁-2．
又由已知a_n+1+a_n=4n-3，
∴a_n+1=2n-a₁-1，
则a_n²+a_n+1²≥20n-15，即为(2n+a1-2)2+(2n-a1-1)2≥20n-15，
整理可得a12-a1≥-4(n-2)2+6，
而-4（n-2）²+6≤6，
∴a12-a1≥6，解得a₁≤-2或a₁≥3①；
（2）当n为偶数时，令n=2k（k∈N^*），则有a_2k+2-a_2k=4．
由a₂+a₁=1，得a₂=1-a₁，
∴a_n=a_2k=a₂+（k-1）×4=2n-a₁-3．
由a_n+1+a_n=4n-3，得a_n+1=2n+a₁，
则a_n²+a_n+1²≥20n-15，即为(2n-a1-3)2+(2n+a1)2≥20n-15，
整理，得a12+3a1≥-4(n-2)2+4，
而-4（n-2）+4≤4，
∴a12+3a1≥4，解得a₁≤-4或a₁≥1②；
综上所述，联立①②，解得a₁的取值范围是a₁≤-4或a₁≥3．
故答案为：a₁≤-4或a₁≥3．

点评：本题考查由数列递推式求数列通项、等差数列及不等式恒成立，考查分类与整合思想、转化思想．思维灵活性大，逻辑关系较复杂．