Question

12．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{e^x}，x≥0\\ ax，x＜0\end{array}$若方程f（-x）=f（x）有五个不同的实根，则实数a的取值范围（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （e，+∞）
• C． （-∞，-1）
• D． （-∞，-e）

Answer 1

分析 求出f（-x）的解析式，根据x的范围不同得出两个不同的方程，由两个方程的关系得出f（-x）=f（x）在（0，+∞）上有解，根据函数图象和导数的几何意义得出a的范围

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{e^x}，x≥0\\ ax，x＜0\end{array}$，
∴f（-x）=$\left\{\begin{array}{l}{-ax，x＞0}\\{1，x=0}\\{{e}^{-x}，x＜0}\end{array}\right.$，
显然x=0是方程f（-x）=f（x）的一个根，
当x＞0时，e^x=-ax①，
当x＜0时，e^-x=ax②，
显然，若x₀为方程①的解，则-x₀为方程为②的解，
∵方程f（-x）=f（x）有5个不同的根，
∴方程①在（0，+∞）上有两解，
做出y=e^x（x＞0）和y=-ax（x＞0）的函数图象，如图所示，
设y=kx与y=e^x相切，切点为（x₀，y₀），则$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{x}_{0}}=k}\\{k{x}_{0}={e}^{{x}_{0}}}\end{array}\right.$，解得x₀=1，k=e，
∵y=e^x与y=-ax在（0，+∞）上有两个交点，
∴-a＞e，即a＜-e，
故选：D

点评 本题主要考查了函数的解析式，以及函数与方程和根的存在性和根的个数的判断，属于中档题．