题目内容

2．如图，点P（x，y）（x＞0，y＞0）是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上的动点，F1，F2是双曲线的焦点，M是∠F1PF2的平分线上一点，且$\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{MP}$=0．某同学用以下方法研究|OM|：延长F2M交PF1于点N，可知△PNF2为等腰三角形，且M为F2N的中点，得|OM|=$\frac{1}{2}$|NF1|=…=a．类似地：点P（x，y）（x＞0，y＞0）是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上的动点，F1，F2是椭圆的焦点，M是∠F1PF2的平分线上一点，且$\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{MP}$=0，则|OM|的取值范围是（0，c）

分析 利用M是∠F1PF2平分线上的一点，且F2M⊥MP，判断OM是三角形F1F2N的中位线，把OM用PF1，PF2表示，再利用椭圆的焦半径公式，转化为用椭圆上点的横坐标表示，借助椭圆的范围即可求出OM的范围．

解答 解：如图，延长F2M，交PF1与N点，
∵PM是∠F1PF2平分线，且$\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{MP}$=0，
且F2M⊥MP，
∴|PN|=|PF2|，M为F2N的中点，
连接OM，
∵O为F1F2中点，M为F2N中点，
∴|OM|=$\frac{1}{2}$|F1N|=$\frac{1}{2}$||PF1|-|PN||=$\frac{1}{2}$||PF1|-|PF2||
∵在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）中，
设P点坐标为（x0，y0）
则|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0，
∴||PF1|-|PF2||=|a+ex0-a+ex0|=|2ex0|=2e|x0|=$\frac{2c}{a}$|x0|，
即有|OM|=$\frac{c}{a}$|x0|，
∵P点在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上，
∴|x0|∈（0，a]，
又∵当|x0|=a时，F2M⊥MP不成立，∴|x0|∈（0，a），
∴|OM|∈（0，c）．
故答案为：（0，c）．

点评 本题考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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 合计 100 300 400
根据上述的统计结果，我们是否有超过99%的把握认为“户外作业”与“患有呼吸道疾病”有关？
K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
 P（K2≥k） 0.50 0.400.25 0.15 0.10  0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
 k 0.4550.708 1.323 0.072 2.706 3.8415.024 6.635 7.879 10.828
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A．（1，+∞）B．（e，+∞）C．（-∞，-1）D．（-∞，-e）

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