Question

3．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P（3，$\frac{5}{2}$）为双曲线上一点，若△PF₁F₂的内切圆的半径为1，则双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1．

Answer 1

分析 运用三角形面积的等积法，两次求得△PF₁F₂的面积，可得|PF₁|+|PF₂|=3c，再由双曲线的定义，可得|PF₁|，|PF₂|，再由两点的距离公式，解得a=2，将P的坐标代入双曲线的方程，解方程可得b，进而得到双曲线的方程．

解答 解：点P（3，$\frac{5}{2}$）为双曲线上一点，
可得S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•y_P=$\frac{1}{2}$•2c•$\frac{5}{2}$=$\frac{5}{2}$c，
△PF₁F₂的内切圆的半径为1，
可得S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$（|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|）•1=$\frac{1}{2}$（|PF₁|+|PF₂|+2c），
可得|PF₁|+|PF₂|=3c，
由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
解得|PF₁|=$\frac{3c+2a}{2}$，|PF₂|=$\frac{3c-2a}{2}$，
又|PF₁|=$\sqrt{（3+c）^{2}+\frac{25}{4}}$，|PF₂|=$\sqrt{（3-c）^{2}+\frac{25}{4}}$，
联立化简得a=2．
又因点点P（3，$\frac{5}{2}$）在双曲线上，
所以$\frac{9}{4}$-$\frac{25}{4{b}^{2}}$=1，解得b=$\sqrt{5}$，
故双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是定义法的运用和点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．