Question

1．设双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，线段BF与双曲线的一条渐近线交于点A，若$\overrightarrow{FA}=2\overrightarrow{AB}$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． 6
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{FA}=2\overrightarrow{AB}$，得$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OF}$+2$\overrightarrow{OB}$），从而求出A点坐标，再由点A在渐近线y=$\frac{b}{a}$x上，能求出双曲线的离心率．

解答 解：设点F（c，0），B（0，b），
由$\overrightarrow{FA}=2\overrightarrow{AB}$，得$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OF}$+2$\overrightarrow{OB}$），
∴A（$\frac{c}{3}$，$\frac{2b}{3}$），
∵点A在渐近线y=$\frac{b}{a}$x上，则$\frac{2b}{3}$=$\frac{b}{a}$•$\frac{c}{3}$，
解得e=2．
故选：D．

点评 本题考查向量知识的运用，考查双曲线的离心率，利用向量知识确定A的坐标是关键．