Question

7．已知z=x²+y²，其中实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}-x+y≤1\\ x+2y≥2\\ x-2≤0\end{array}\right.$，则z的最小值是（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\frac{7}{9}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\sqrt{13}$

Answer 1

分析 目标函数z=x²+y²的取值为原点O到可行域内任一点P距离的平方；
画出可行域，找出最优解是点O到直线x+2y=2的距离d，
从而求出目标函数z=x²+y²的最小值．

解答 解：目标函数z=x²+y²的取值即为原点O（0，0）到平面区域内任一点P距离的平方；
实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{-x+y≤1}\\{x+2y≥2}\\{x-2≤0}\end{array}\right.$的平面区域是如图中A，B，C三点围成的三角形区域，

由图得：只有当取点O到直线x+2y=2的距离时，
O（0，0）到平面区域ABC内一点的距离最小；
点O到直线x+2y=2的距离为d=$\frac{|0+0-2|}{\sqrt{{1}^{2}{+2}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴目标函数z=x²+y²的最小值是d²=${（\frac{2\sqrt{5}}{5}）}^{2}$=$\frac{4}{5}$．
故选：C．

点评 本题主要考查了简单的线性规划问题，解题的关键在于分析出目标函数z=x²+y²的取值即为O（0，0）到平面区域内任一点距离的平方．