Question

18．已知数列{a_n}是等差数列，首项a₁=2，且a₃是a₂与a₄+1的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{2}{（n+3）（{a}_{n}+2）}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列的公差为d，首项a₁=2，且a₃是a₂与a₄+1的等比中项即可求出公差d，再写出通项公式即可，
（2）化简b_n根据式子的特点进行裂项，再代入数列{b_n}的前n项和S_n，利用裂项相消法求出S_n．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₁=2，且a₃是a₂与a₄+1的等比中项．
∴（2+2d）²=（3+3d）（2+d），
解得d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n，
（2）b_n=$\frac{2}{（n+3）（{a}_{n}+2）}$=$\frac{2}{（n+3）（2n+2）}$=$\frac{1}{（n+1）（n+3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+3}$），
∴S_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+3}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$）=$\frac{5}{12}$-$\frac{2n+5}{2（n+2）（n+3）}$

点评 本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式，以及裂项相消法求数列的前n项和，考查了基础知识和运算能力．