Question

13．某公司为评估两套促销活动方案（方案1运作费用为5元/件；方案2的运作费用为2元/件），在某地区部分营销网点进行试点（每个试点网点只采用一种促销活动方案），运作一年后，对比该地区上一年度的销售情况，制作相应的等高条形图如图所示．
（1）请根据等高条形图提供的信息，为该公司今年选择一套较为有利的促销活动方案（不必说明理由）；
（2）已知该公司产品的成本为10元/件（未包括促销活动运作费用），为制定本年度该地区的产品销售价格，统计上一年度的8组售价x_i（单位：元/件，整数）和销量y_i（单位：件）（i=1，2，…，8）如下表所示：

售价x	33	35	37	39	41	43	45	47
销量y	840	800	740	695	640	580	525	460

①请根据下列数据计算相应的相关指数R²，并根据计算结果，选择合适的回归模型进行拟合；
②根据所选回归模型，分析售价x定为多少时？利润z可以达到最大．

	$\hat y=-1200lnx+5000$	$\hat y=-27x+1700$	$\hat y=-\frac{1}{3}{x^2}+1200$
${\sum_{i=1}^8{（{{y_i}-{{\hat y}_i}}）}^2}$	49428.74	11512.43	175.26
${\sum_{i=1}^8{（{{y_i}-\overline y}）}^2}$	124650

（附：相关指数${R^2}=1-\frac{{{{\sum_{i=1}^n{（{{y_i}-{{\hat y}_i}}）}}^2}}}{{{{\sum_{i=1}^n{（{{y_i}-\overline y}）}}^2}}}$）

Answer 1

分析 （1）由等高条形图可知，年度平均销售额与方案1的运作相关性强于方案2．
（2）①求出相关指数，比较可得结论；
②由（1）可知，采用方案1的运作效果较方案2好，故年利润$z=（{-\frac{1}{3}{x^2}+1200}）（{x-15}）$，利用导数的方法，可得结论．

解答 解：（1）由等高条形图可知，年度平均销售额与方案1的运作相关性强于方案2．
（2）①由已知数据可知，回归模型$\hat y=-1200lnx+5000$对应的相关指数$R_1^2=0.6035$；
回归模型$\hat y=-27x+1700$对应的相关指数$R_2^2=0.9076$；
回归模型$\hat y=-\frac{1}{3}{x^2}+1200$对应的相关指数$R_3^2=0.9986$．
因为$R_3^2＞R_2^2＞R_1^2$，所以采用回归模型$\hat y=-\frac{1}{3}{x^2}+1200$进行拟合最为合适．
②由（1）可知，采用方案1的运作效果较方案2好，
故年利润$z=（{-\frac{1}{3}{x^2}+1200}）（{x-15}）$，z'=-（x+30）（x-40），
当x∈（0，40）时，$z=（{-\frac{1}{3}{x^2}+1200}）（{x-15}）$单调递增；
当x∈（40，+∞）时，$z=（{-\frac{1}{3}{x^2}+1200}）（{x-15}）$单调递减，
故当售价x=40时，利润达到最大．

点评 本题考查相关指数，考查等高条形图，考查导数知识的运用，属于中档题．