Question

2．将函数f（x）=cos2x的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位得到g（x）的图象，若g（x）在（-2m，-$\frac{π}{6}$）和（3m，$\frac{5π}{6}$）上都单调递减，则实数m的取值范围为（　　）

• A． [$\frac{π}{9}$，$\frac{5π}{18}$）
• B． [$\frac{π}{9}$，$\frac{π}{3}$）
• C． （$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{18}$）
• D． [$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{12}$]

Answer 1

分析 由函数的图象平移求得函数g（x）的解析式，进一步求出函数（x）的单调减区间，结合函数g（x）在（-2m，-$\frac{π}{6}$）和（3m，$\frac{5π}{6}$）上都单调递减列关于m的不等式组求解．

解答 解：将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位后得到函数g（x）的图象，
得g（x）=2cos2（x-$\frac{π}{3}$）=2cos（2x-$\frac{2}{3}$π），
由2kπ≤2x-$\frac{2π}{3}$≤2kπ+π，得kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$．
若g（x）在（-2m，-$\frac{π}{6}$）上单调递减，则有$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{π}{6}≤kπ+\frac{5}{6}π}\\{-2m≥kπ+\frac{π}{3}}\\{-2m＜-\frac{π}{6}}\end{array}\right.$，此时k=2，解得$\frac{π}{12}$＜m≤$\frac{π}{3}$
若g（x）在（3m，$\frac{5π}{6}$）上单调递减，则有，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5π}{6}≤kπ+\frac{5}{6}π}\\{3m≥kπ+\frac{π}{3}}\\{3m＜-\frac{5π}{6}}\end{array}\right.$，此时k=0，解得$\frac{π}{9}$≤m＜$\frac{5π}{18}$，
同时成立，取交集，有$\frac{π}{9}$≤m＜$\frac{5π}{18}$．
故选：A．

点评 本题考查三角函数的图象变换，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，是中档题．