题目内容
17．若实数a、b、c∈R+，且ab+ac+bc+2$\sqrt{5}=6-{a^2}$，则2a+b+c的最小值为（ ）| A． | $\sqrt{5}-1$ | B． | $\sqrt{5}+1$ | C． | $2\sqrt{5}+2$ | D． | $2\sqrt{5}-2$ |
分析 因为（2a+b+c）2=4a2+b2+c2+4ab+2bc+4ca，与已知等式比较发现，只要利用均值不等式b2+c2≥2bc即可求出结果．
解答 解：∵ab+ac+bc+2$\sqrt{5}=6-{a^2}$，∴a2+ab+ac+bc=6-2$\sqrt{5}$
（6-2$\sqrt{5}$）×4=（a2+ab+ac+bc）×4=4a2+4ab+4ac+4bc≤4a2+4ab+b2+c2+4ca+2bc=（2a+b+c）2，
所以2a+b+c≥2$\sqrt{5}$-2，
故选D．
点评 本题考查柯西不等式，考查最小值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．解答的关键是利用平方关系4a2+4ab+b2+c2+4ca+2bc=（2a+b+c）2建立条件与结论之间的联系．
练习册系列答案
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7．已知z=x2+y2，其中实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}-x+y≤1\\ x+2y≥2\\ x-2≤0\end{array}\right.$，则z的最小值是（ ）
| A． | $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$ | B． | $\frac{7}{9}$ | C． | $\frac{4}{5}$ | D． | $\sqrt{13}$ |
如图，圆O的弦AB，MN交于点C，且A为弧MN的中点，点D在弧BM上，若∠ACN=3∠ADB，求∠ADB的度数．