Question

16．已知等比数列{a_n}满足a₂a₅=2a₃，且a₄，$\frac{5}{4}$，2a₇成等差数列，则a₁a₂a₃…a_n的最大值为1024．

Answer 1

分析 利用等比数列通项公式和等差数列定义列出方程组，求出首项和公比，从而得到${a}_{n}=16×（\frac{1}{2}）^{n-1}={2}^{5-n}$，进而a₁a₂a₃…a_n=2^{4+3+2+1+…+（5-n）}=${2}^{\frac{-{n}^{2}+9n}{2}}$，由此能求出结果．

解答 解：∵等比数列{a_n}满足a₂a₅=2a₃，且a₄，$\frac{5}{4}$，2a₇成等差数列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q{a}_{1}{q}^{4}=2{a}_{1}{q}^{2}}\\{{a}_{1}{q}^{3}+2{a}_{1}{q}^{6}=2×\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
解得${a}_{1}=16，q=\frac{1}{2}$，
∴${a}_{n}=16×（\frac{1}{2}）^{n-1}={2}^{5-n}$，
∴a₁a₂a₃…a_n=2^{4+3+2+1+…+（5-n）}=${2}^{\frac{-{n}^{2}+9n}{2}}$，
∴当n=4或n=5时，
a₁a₂a₃…a_n取最大值，且最大值为2¹⁰=1024．
故答案为：1024．

点评 本题考查等比数列、等差数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是基础题．