Question

已知f（x）=

2x-a

2x+1

（a∈R）的图象关于坐标原点对称．
（Ⅰ）求a的值，并求出函数F（x）=f（x）+2^x-

4

2x+1

-1的零点；
（Ⅱ）若函数h（x）=f（x）+2^x-

b

2x+1

在[0，1]内存在零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意知f（x）是R上的奇函数，从而可得a=1；代入可得F(x)=

2x-1

2x+1

+2x-

4

2x+1

-1=

(2x)2+2x-6

2x+1

，从而求零点；
（2）h(x)=

2x-1

2x+1

+2x-

b

2x+1

=

(2x)2+2x+1-1-b

2x+1

，从而可得方程（2^x）²+2^x+1-1-b=0在[0，1]内有解．从而解得．

解答： 解：（1）由题意知f（x）是R上的奇函数，
∴f（0）=0，得a=1，
∴F(x)=

2x-1

2x+1

+2x-

4

2x+1

-1=

(2x)2+2x-6

2x+1

，
由（2^x）²+2^x-6=0，得2^x=2，
∴x=1，
即F（x）的零点为x=1．
（2）h(x)=

2x-1

2x+1

+2x-

b

2x+1

=

(2x)2+2x+1-1-b

2x+1

，
由题设知h（x）=0在[0，1]内有解，
即方程（2^x）²+2^x+1-1-b=0在[0，1]内有解．
∴b=（2^x）²+2^x+1-1=（2^x+1）²-2在[0，1]内单调递增，
∴2≤b≤7，
故当2≤b≤7时，函数h(x)=f(x)+2x-

b

2x+1

在[0，1]内存在零点．

点评：本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于基础题．