Question

设a，b，c均为正数，且a+b+c=1．
（1）证明：ab+bc+ca≤

1

3

；
（2）求

1

a

+

1

b

+

1

c

的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由ab+bc+ac≤a²+b²+c²，可得3（ab+bc+ac）≤（a+b+c）²=1，即可证明．
（2）由a，b，c均为正数，且a+b+c=1，可得

1

a

+

1

b

+

1

c

=（a+b+c）(

1

a

+

1

b

+

1

c

)≥3

3	abc

×3

3	1 abc

即可得出．

解答： （1）证明：∵a+b+c=1，ab+bc+ac≤a²+b²+c²，
∴3（ab+bc+ac）≤（a+b+c）²=1，
∴ab+bc+ca≤

1

3

，当且仅当a=b=c=

1

3

时取等号；
（2）解：∵a，b，c均为正数，且a+b+c=1，
∴

1

a

+

1

b

+

1

c

=（a+b+c）(

1

a

+

1

b

+

1

c

)≥3

3	abc

×3

3	1 abc

=9，当且仅当a=b=c=

1

3

时取等号．
∴

1

a

+

1

b

+

1

c

的最小值是9．

点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．