题目内容

交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T，其范围为[0，10]，分别有5个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．早高峰时段（T≥3），从贵阳市交通指挥中心随机选取了二环以内50个交通路段，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示：
（1）据此直方图估算交通指数T∈[4，8）时的中位数和平均数
（2）据此直方图求出早高峰二环以内的3个路段至少有两个严重拥堵的概率是多少？
（3）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为35分钟；中度拥堵为45分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．
考点：频率分布直方图,频率分布表
专题：
分析：（1）根据中位数左、右两边小矩形的面积相等求中位数，根据平均数为各个小矩形底边中点的横坐标乘以对应小矩形的面积之和求数据的平均数；
（2）根据直方图求出“一条路段严重拥堵”的概率，利用相互独立事件乘法公式可求三个路段至少有两条是严重拥堵的概率；
（3）此人所用时间的随机变量X取值为30，35，45，60，根据题意可求相应的概率，进而可求X的数学期望．
解答： 解：（1）由直方图知：T∈[4，8）时交通指数的中位数为5+1×
0.2
0.24
=
35
6

T∈[4，8）时交通指数的平均数为4.5×0.2+5.5×0.24+6.5×0.2+7.5×0.16=4.72
（2）设事件A为“一条路段严重拥堵”，则P（A）=0.1
则3条路段中至少有两条路段严重拥堵的概率为：P=
C
2
3
×(
1
10
)2×(1-
1
10
)+
C
3
3
×(
1
10
)3=
7
250

所以3条路段中至少有两条路段严重拥堵的概率为
7
250

（3）由题意，所用时间x的分布列如下表：
x30354560
P0.10.440.360.1
则Ex=30×0.1+35×0.44+45×0.36+60×0.1=40.6
所以此人经过该路段所用时间的数学期望是40.6分钟
点评：本题以实际问题为素材，考查由直方图求出中位数、平均数的估计值，以及离散型随机变量的概率及期望，关键是正确运用公式．属于中档题．
练习册系列答案
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己知函数f（x）=
x2-ax，x≥-1
-2-(a+3)x，x＜-1
，若对任意x1，x2∈R，当x1≠x2，都有f（x1）≠f（x2）成立，则实数a的取值范围是
 
．
数列{an}中，a1=a2=1，an+2=an+1+an对所有正整数n都成立，则a10等于（　　）
A、34B、55C、89D、100
设A为曲线M上任意一点，B为曲线N上任意一点，若|AB|的最小值存在且为d，则称d为曲线M，N之间的距离．
（1）若曲线M：y=ex（e为自然对数的底数），曲线N：y=x，则曲线M，N之间的距离为
 
；
（2）若曲线M：y2+1=x，曲线N：x2+1+y=0，则曲线M，N之间的距离为
 
．
已知f（x）=
2x-a
2x+1
（a∈R）的图象关于坐标原点对称．
（Ⅰ）求a的值，并求出函数F（x）=f（x）+2x-
4
2x+1
-1的零点；
（Ⅱ）若函数h（x）=f（x）+2x-
b
2x+1
在[0，1]内存在零点，求实数b的取值范围．
已知递增的等差数列{an}满足a1=2，a22=a5+6，则an=
 
．
已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个最高点间的距离为2π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）α为锐角，且f（a+
π
3
）=
1
3
，求sin（
3π
2
+α）的值．
抛物线y=
1
a
x2的焦点坐标为（　　）
A、(0，-
a
4
)
B、(0，
a
4
)
C、(
a
4
，0)
D、(
1
4a
，0)
设f（x）是定义在[-1，1]的奇函数，对任意a，b∈[-1，1]，当a+b≠0时，都有
f(a)+f(b)
a+b
＞0．
（1）若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小；
（2）解不等式f（x-
1
2
）＜f（2x-
1
4
）．

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