Question

已知函数f（x）=

-x2+x，x≤1 log 1 3 x，x＞1

，若关于x的不等式f（x）≥m²-

3

4

m有解，则实数m的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：关于x的不等式f（x）≥m²-

3

4

m有解，即为f（x）_max≥m²-

3

4

m，通过对数函数和二次函数的性质，求得f（x）的最大值，再由二次不等式的解法，即可得到范围．

解答： 解：关于x的不等式f（x）≥m²-

3

4

m有解，
即为f（x）_max≥m²-

3

4

m，
由函数f（x）=

-x2+x，x≤1 log 1 3 x，x＞1

，
则x＞1时，f（x）递减，即有f（x）＜0；
当x≤1时，y=-x²+x的对称轴x=

1

2

，
则有f（x）≤f（

1

2

）=

1

2

-

1

4

=

1

4

，
则f（x）在R上的最大值为

1

4

．
则

1

4

≥m²-

3

4

m，
解得，-

1

4

≤m≤1．
故答案为：[-

1

4

，1]

点评：本题考查不等式的成立有解问题，注意转化为求函数最值问题，考查函数的性质和运用，及二次不等式的解法，属于中档题和易错题．