Question

解下列方程或不等式：
（1）A_2n+1⁴=140A_n³      
（2）A_N⁴≥24C_n⁶．

Answer 1

考点：排列及排列数公式

专题：概率与统计

分析：（1）由已知得（2n+1）×2n（2n-1）×（2n-2）=140n（n-1）（n-2），由此能求出n=3．
（2）由已知得n（n-1）（n-2）（n-3）≥24×

n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)

6×5×4×3×2×1

，又n∈N^*，且n≥6，由此能求出n．

解答： 解：（1）∵A_2n+1⁴=140A_n³      
∴（2n+1）×2n（2n-1）×（2n-2）=140n（n-1）（n-2），
整理，得：4n²-35n+69=0，
解得n=3，或n=

23

4

（舍）
∴n=3．
（2）∵A_n⁴≥24C_n⁶，
∴n（n-1）（n-2）（n-3）≥24×

n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)

6×5×4×3×2×1

，
∴

(n-4)(n-5)

30

≤1，
整理，得n²-9n-10≤0，
解得-1≤n≤10，
∵n∈N^*，且n≥6，
∴n的值为：6，7，8，9，10．

点评：本题考查排列数公式和组合数公式的合理运用，是基础题，解题时要认真审题．