Question

6．已知函数f（x）=2asin?xcos?x+2$\sqrt{3}$cos²?x-$\sqrt{3}$（a＞0，?＞0）的最大值为2，且最小正周期为π．
（1）求函数f（x）的解析式及期对称轴方程；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）根据条件函数最值和周期，利用三角函数的公式进行化简即可求a和ω的值，即可求出函数的解析式和对称轴方程；
（2）根据（1）中正弦函数的自变量的取值范围来求函数的最值．

解答 解：（1）f（x）=2asin?xcos?x+2$\sqrt{3}$cos²?x-$\sqrt{3}$
=asin2?x+$\sqrt{3}$cos2?x=$\sqrt{{a}^{2}+3}$sin（2?x+φ），
由题意f（x）的周期为π，所以$\frac{2π}{2ω}$，
得?=1，
∵f（x）最大值为2，故$\sqrt{{a}^{2}+3}$=2，
又a＞0，
∴a=1，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
令2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，
解得f（x）的对称轴为x=$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$（k∈Z）．
（2）由$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{3}}）$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，得、
$kπ-\frac{5π}{12}≤x≤kπ+\frac{π}{12}，k∈Z$，
∴函数f（x）的单调递增区间是$[{kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}}]，k∈Z$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用条件求出函数的解析式是解决本题的关键．同时也考查三角函数倍角公式的应用．