Question

9．已知函数f（x）=ax³+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时f（x）取得极值-2．求f（x）的单调区间和极大值．

Answer 1

分析 由条件f（1）=2，f′（1）=0求得a、b，再利用导数求出单调区间，从而求解．

解答 解．由奇函数定义，有f（-x）=-f（x），x∈R．即-ax³-cx+d=-ax³-cx-d，∴d=0因此，f（x）=ax³+cx，
 f′（x）=3ax²+c
由条件f（1）=2为f（x）的极值，必有f′（1）=0
故  $\left\{\begin{array}{l}{a+c=-2}\\{3a+c=0}\end{array}\right.$，解得 a=1，c=-3
因此f（x）=x³-3x，f′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1）
当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0，故f（x）在单调区间（-∞，-1）上是增函数．
当x∈（-1，1）时，f′（x）＜0，故f（x）在单调区间（-1，1）上是减函数．
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在单调区间∈（1，+∞）上是增函数．
所以，f（x）的极大值为f（-1）=2．

点评 本题考查了导数的应用，利用导数求函数的单调区间，最值，属于中档题