某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画．如图.该电梯的高AB为4米.它所占水平地面的长AC为8米．该广告画最高点E到地面的距离为10.5米．最低点D到地面的距离6.5米．假设某人的眼睛到脚底的距离MN为1.5米.他竖直站在此电梯上观看DE的视角为θ．(1)设此人到直线EC的距离为x米.试用x表示点M到地面的距离,(2)此人到直线EC的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．

某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画．如图，该电梯的高AB为4米，它所占水平地面的长AC为8米．该广告画最高点E到地面的距离为10.5米．最低点D到地面的距离6.5米．假设某人的眼睛到脚底的距离MN为1.5米，他竖直站在此电梯上观看DE的视角为θ．
（1）设此人到直线EC的距离为x米，试用x表示点M到地面的距离；
（2）此人到直线EC的距离为多少米，视角θ最大？

分析（1）根据相似三角形得出NH，从而得出MH；
（2）计算DG，EG，得出tan∠DMG和tan∠EMG，利用差角公式计算tanθ，得出tanθ关于x的解析式，利用不等式求出tanθ取得最大值时对应的x即可．

解答解：（1）由题意可知MG=CH=x，
由△CHN∽△CAB可得$\frac{NH}{AB}=\frac{CH}{AC}$，即$\frac{NH}{4}=\frac{x}{8}$，
∴NH=$\frac{x}{2}$，
∴M到地面的距离MH=MN+NH=$\frac{x+3}{2}$．
（2）DG=CD-CG=CD-MH=$\frac{5-x}{2}$，
同理EG=9-$\frac{x}{2}$，
∴tan∠DMG=$\frac{GD}{MG}$=$\frac{\frac{5-x}{2}}{x}$=$\frac{5-x}{2x}$，tan∠EMG=$\frac{EG}{MG}=\frac{9-\frac{x}{2}}{x}$=$\frac{18-x}{2x}$，
∴tanθ=tan（∠EMG-∠DMG）=$\frac{\frac{18-x}{2x}-\frac{5-x}{2x}}{1+\frac{18-x}{2x}•\frac{5-x}{2x}}$=$\frac{26x}{5{x}^{2}-23x+90}$=$\frac{26}{5x+\frac{90}{x}-23}$，
∵0＜x≤8，∴5x+$\frac{90}{x}$≥2$\sqrt{5x•\frac{90}{x}}$=30$\sqrt{2}$，当且仅当5x=$\frac{90}{x}$即x=3$\sqrt{2}$时取等号，
∴当x=3$\sqrt{2}$时，tanθ取得最大值，即θ取得最大值．

点评本题考查了解三角形的实际应用，属于中档题．