Question

18．已知函数f（x）=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}sin2x+\frac{1}{2}{cos^2}$x．
（1）求函数f（x）的最大值，及取到最大值的x集合；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（A）=$\frac{1}{2}$，a=1，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解函数的最值．
（2）通过f（A）=$\frac{1}{2}$，求出A，结合a=1，利用余弦定理，求出b+c的范围，然后求解最值．

解答 解：（1）$\frac{{\sqrt{3}}}{4}sin2x+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}（{1+cos2x}）=\frac{{\sqrt{3}}}{4}sin2x+\frac{1}{4}cos2x+\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}sin（{2x+\frac{π}{6}}）+\frac{1}{4}$，
由$2x+\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{2}$，得$x=kπ+\frac{π}{6}，k∈$Z，
当$x=kπ+\frac{π}{6}$时，f（x）有最大值，即f（x）取最大值时集合为$\left\{{x|x=kπ+\frac{π}{6}，k∈}\right.$Z}．
（2）$f（A）=\frac{1}{2}sin（{2A+\frac{π}{6}}）+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}，sin（{2A+\frac{π}{6}}）=\frac{1}{2}$，
$2A+\frac{π}{6}=\frac{5}{6}π，A=\frac{π}{3}$，
${1^2}={a^2}={b^2}+{c^2}-2bccos\frac{π}{3}={b^2}+{c^2}-bc$=${（{b+c}）^2}-3bc≥\frac{{{{（{b+c}）}^2}}}{4}$，
∴（b+c）≤2，a+b+c≤3，即△ABC周长的最大值3．

点评 本题考查余弦定理的应用、两角和与差的三角函数，基本不等式的应用，考查计算能力．