Question

14．已知f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$ax²+bx（a≠0），h（x）=f（x）-g（x），f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$ax²+bx（a≠0），h（x）=f（x）-g（x），
（1）若a=3，b=2，求h（x）的极值点；
（2）若b=2且h（x）存在单调递减区间，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用导数求单调性，在确定极值
（2），$h′（x）=-\frac{a{x}^{2}+2x-1}{x}$，函数h（x））存在单调递减区间，只需h′（x）＜0有解，即当x＞0时，则ax²+2x-1＞0在（0，+∞）上有解，分以下：（1）当a＞0，（2）当a＜0情况讨论即可

解答 解：（1）∵a=3，b=2，∴$h（x）=f（x）-g（x）=lnx-\frac{3}{2}{x}^{2}-2x$，
∴$h′（x）=\frac{1}{x}-3x-2=-\frac{3{x}^{2}+2x-1}{x}，（x＞0）$，
令h′（x）=0，则3x²+2x-1=0，x₁=-1，x${\;}_{2}=\frac{1}{3}$，
则当0$＜x＜\frac{1}{3}$时，h′（x）＞0，则h（x）在（0，$\frac{1}{3}$）上为增函数，
当x$＞\frac{1}{3}$时，h′（x）＜0，则h（x）在（$\frac{1}{3}，+∞）$上为减函数，
则h（x）的极大值点为$\frac{1}{3}$；
（2）∵b=2，∴$h（x）=lnx-\frac{1}{2}a{x}^{2}-2x$，∴$h′（x）=\frac{1}{x}-2x-2=-\frac{a{x}^{2}+2x-1}{x}$，
∵函数h（x））存在单调递减区间，∴h′（x）＜0有解．
即当x＞0时，则ax²+2x-1＞0在（0，+∞）上有解．
（1）当a＞0时，y=ax²+2x-1为开口向上的抛物线，y=ax²+2x-1＞0在（0，+∞）总有解．故a＞0符合题意；
（2）当a＜0时，y=ax²+2x-1为开口向下的抛物线，要y=ax²+2x-1＞0在（0，+∞）总有解，
则△=4+4a＞0，且方程ax²+2x-1=0至少有一个正根，此时，-1＜a＜0'
综上所述，a的取值范围为（-1，0）∪（0，+∞）．

点评 本题考查了利用导数求函数单调性、极值，考查了函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．