Question

20．复数z=（1+i）m²+（3-10i）m-（4-9i），（其中 i为虚数单位，m∈R），
（1）当m=0时，求复数z的模；    
（2）当实数m为何值时复数z为纯虚数；
（3）当实数m为何值时复数z在复平面内对应的点在第二象限？

Answer 1

分析 由已知整理得：z=（1+i）m²+（3-10i）m-（4-9i）=（m²+3m-4）+（m²-10m+9）i．
（1）当m=0时，z=-4+9i，利用模的计算公式即可得出|z|．
（2）当$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+3m-4=0}\\{{m}^{2}-10m+9≠0}\end{array}\right.$，解出即可得出复数z为纯虚数．
（3）当$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+3m-4＜0}\\{{m}^{2}-10m+9＞0}\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 解：由已知整理得：z=（1+i）m²+（3-10i）m-（4-9i）=（m²+3m-4）+（m²-10m+9）i．…（2分）
（1）当m=0时，z=-4+9i，∴|z|=$\sqrt{（-4）^{2}+{9}^{2}}$=$\sqrt{97}$．…（6分）
（2）当$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+3m-4=0}\\{{m}^{2}-10m+9≠0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=-4或m=1}\\{m≠9，且m≠1}\end{array}\right.$，即m=-4，复数z为纯虚数  …（10分）
（3）当$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+3m-4＜0}\\{{m}^{2}-10m+9＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-4＜m＜1}\\{m＜1或m＞9}\end{array}\right.$，即-4＜m＜1时，复数z在复平面内对应的点在第二象限          …（14分）

点评 本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、几何意义、模的计算公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．