Question

已知函数f（x）=（x-a）lnx，a∈R．若a=0，对于任意的x∈（0，1）．
（1）求证：-

1

e

≤f（x）＜2．
（2）若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，求实数a的范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数判断函数的单调性，求得函数的最值，即可得出结论；
（2）由题意可得，即证f′（x）=-alnx+

x-a

x

=

x-a(xlnx+1)

x

=0，即x-a（xlnx+1）=0，即a=

x

xlnx+1

在x∈（0，1）有解即可，令g（x）=

x

xlnx+1

，利用导数求得函数g（x）的最值，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=（x-a）lnx，若a=0，则f（x）=xlnx，
∴f′（x）=lnx+1，
∴x∈（0，

1

e

）时，f′（x）＜0，x∈（

1

e

，1）时，f′（x）＞0，
∴当x=

1

e

时，f（x）_min=f（

1

e

）=-

1

e

，
又f（1）=0，∴-

1

e

≤f（x）＜0．
（2）∵f（x）=（x-a）lnx，
∴f′（x）=-alnx+

x-a

x

=

x-a(xlnx+1)

x

=0，
∴x-a（xlnx+1）=0，即a=

x

xlnx+1

，x∈（0，1），
令g（x）=

x

xlnx+1

，则g′（x）=

1-x

(xlnx+1)2

＞0，
∴g（x）在（0，1）上单调递增，
∴0＜g（x）＜1，
又∵f（x）在其定义域内不是单调函数，
∴0＜a＜1．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识，考查学生分析问题、解决问题的能力及转化划归思想的运用能力，属于难题．