Question

等差数列{a_n}中，a₇=4，a₁₉=2a₉（2）设b_n=

1

2nan

，求数列{b_n}的前n项和S_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

1

2nan

，S_n是数列{b_n}的前n项和，求使s_n＞8-n成立的n的最小值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，根据题意和等差数列的通项公式列出关于首项、公差的方程，代入通项公式化简；
（2）由（1）和题意求出b_n，利用裂项相消法求出S_n，代入s_n＞8-n求出n的范围，再由n取整数求出n的最小值．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
则由a_n=a₁+（n-1）d得：

a7=a1+6d=4 a19=a1+18d=2(a1+8d)

，
解得a1=1，d=

1

2

，
所以{a_n}的通项公式为an=

n+1

2

-----------（4分）
（2）因为bn=

1

2nan

=

2

2n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，-----------（6分）
所以Sn=(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=

n

n+1

---------------（8分）
由s_n＞8-n得1-

1

n+1

＞8-n，解得n＞3+

68

2

或n＜3-

68

2

又n∈N^*，所以满足条件的n的最小值为8--------------------（10分）

点评：本题考查了等差数列的通项公式，以及数列的求和方法：裂项相消法，属于中档题．