Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x²-4x
（1）求f（x）的解析式；
（2）求不等式f（x）＞x的解集．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,一元二次不等式的解法

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的性质，分别求出x＜0和x=0的表达式即可；
（2）分别讨论，当x≥0时，当x＜0时的不等式，解出，再求并集即可．

解答： 解：（1）∵定义在R上的奇函数f（x），
∴f（0）=0，
若x＜0，则-x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=x²-4x，
∴f（-x）=x²+4x=-f（x），
∴当x＜0时，f（x）=-x²-4x，
∴f（x）=

x2-4x，x≥0 -x2-4x，x＜0

；
（2）当x≥0时，x²-4x＞x，解得x＞5，
当x＜0时，-x²-4x＞x，解得-5＜x＜0，
故不等式的解集为（-5，0）∪（5，+∞）．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，考查分段函数的运用：解不等式，利用函数奇偶性的定义将变量进行转化是解决本题的关键．