Question

12．如图，在三棱锥A-BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB=DC，E为BC中点，则$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}$=0．

Answer 1

分析 根据两个要求数量积的向量的位置，把这两个向量用以D为起点的向量来表示，整理出含有向量的数量积的表示形式，根据垂直和长度关系得到结果．

解答 解：∵$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}$）
=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}$）•（$\overrightarrow{DC}$-$\overrightarrow{DB}$），
=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{DB}-2\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}$）•（$\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}$），
=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{DC}$-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{DB}}^{2}$-$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DC}$+$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}$+$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{DC}}^{2}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{DB}$，
∵DA，DB，DC两两垂直，且DB=DC，
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}$=0，
故答案为：0．

点评 本题考查空间向量的数量积的运算，本题解题的关键是把要求数量积的向量表示成已知向量的和或差的形式，再进行数量积的运算．