Question

17．设点G，M分别是△ABC的重心和外心，A（-1，0），B（1，0），且$\overrightarrow{GM}∥\overrightarrow{AB}$．
（1）求点C的轨迹E的方程；
（2）已知点$D（-\frac{1}{2}，0）$，是否存在直线，使过点（0，1）并与曲线E交于P，Q两点，且∠PDQ为钝角．若存在，求出直线的斜率k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设C（x，y）（y≠0），得到G和AC中点的坐标，再由$\overrightarrow{GM}∥\overrightarrow{AB}$得到M的坐标，结合M是△ABC的外心，可得$\overrightarrow{MF}•\overrightarrow{AC}=0$，代入坐标整理得答案；
（2）假设存在满足条件的直线，并设其方程为y=kx+1，联立直线方程与E的方程，由∠PDQ为钝角，得$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{DQ}＜0$，展开数量积，代入根与系数的关系，化为关于k的不等式得答案．

解答 解：（1）设C（x，y）（y≠0），则$G（\frac{x}{3}，\frac{y}{3}）$，
AC的中点$F（\frac{x-1}{2}，\frac{y}{2}）$，又$\overrightarrow{GM}∥\overrightarrow{AB}$，则$M（0，\frac{y}{3}）$，
又M是△ABC的外心，
∴$\overrightarrow{MF}•\overrightarrow{AC}=0$，即$\frac{x-1}{2}•（x+1）+\frac{y}{6}•y=0$，
化简得，${x^2}+\frac{y^2}{3}=1（y≠0）$，
即点C的轨迹E的方程为${x^2}+\frac{y^2}{3}=1（y≠0）$；
（2）假设存在满足条件的直线，并设其方程为y=kx+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=kx+1\end{array}\right.$，消去y得（k²+3）x²+2kx-2=0，
则△=12k²+24＞0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则${x_1}+{x_2}=\frac{-2k}{{{k^3}+3}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{-2}{{{k^3}+3}}$，
由∠PDQ为钝角，有$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{DQ}＜0$，
即$（{x_1}+\frac{1}{2}）（{x_2}+\frac{1}{2}）+{y_1}{y_2}=（{x_1}+\frac{1}{2}）（{x_2}+\frac{1}{2}）+（k{x_1}+1）（k{x_2}+1）$
=$（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+（\frac{1}{2}+k）（{x_1}+{x_2}）+\frac{5}{4}＜0$
整理得，11k²+4k-7＞0，解得k＜-1或$k＞\frac{7}{11}$，
又当k=1时，直线过点A（-1，0），而A不在曲线E上，此时直线与曲线E只有一个交点，不符合题意，故舍去，
综上可知符合条件的直线存在，且其斜率的取值范围为k＜-1或$\frac{7}{11}＜k＜1$或k＞1．

点评 本题考查曲线方程的求法，考查了椭圆的简单性质，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．