设函数f(x)的定义域为R.若存在常数m＞0.使|f(x)|≤m|x|对一切实数x均成立.则称f(x)为“倍约束函数．现给出下列函数:①f=x2,③f(x)=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$,④f(x)是定义在实数集R上的奇函数.且对一切x1.x2均有|f(x1)-f(x2)|≤2|x1-x2|．其中是“倍约束函数的序号是( )A．①� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．设函数f（x）的定义域为R，若存在常数m＞0，使|f（x）|≤m|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“倍约束函数”．现给出下列函数：①f（x）=0；②f（x）=x²；③f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$；④f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|．其中是“倍约束函数”的序号是（　　）

A．

①②④

B．

③④

C．

①④

D．

①③④

分析本题考查阅读题意的能力，根据F函数的定义对各选项进行判定．比较各个选项，发现只有选项①③④，根据单调性可求出存在正常数M满足条件，而对于其它选项，不等式变形之后，发现都不存在正常数M使之满足条件，由此即可得到正确答案．

解答解：对于①，m是任意正数时都有0≤m|x|，f（x）=0是F函数，故①正确；
对于②，f（x）=x²，|f（x）|=|x²|≤m|x|，即|x|≤m，不存在这样的M对一切实数x均成立，故②错；
对于③，要使|f（x）|≤m|x|成立，即|$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$|≤m|x|，当x=0时，m可取任意正数；当x≠0时，只须m$≥（\frac{1}{{x}^{2}+x+1}）_{max}$，因为x²+x+1$≥\frac{3}{4}$，∴所以m≥$\frac{4}{3}$故③正确．
对于④，f（x）是定义在实数集R上的奇函数，故|f（x）|是偶函数，因而由|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|得到，|f（x）|≤2|x|成立，存在M≥2＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，符合题意，故④正确．
故选：D．

点评本题重点考查了函数的最值及其性质，对选支逐个加以分析变形，利用函数、不等式的进行检验，方可得出正确结论．深刻理解题中F函数的定义，用不等式的性质加以处理，找出不等式恒成立的条件再进行判断，是解决本题的关键所在，属于难题．