Question

7．已知函数f（x）=-x³+2ex²-x²+mx-e²（x＞0），若f（x）=0有两个相异实根，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-e²+2e，0）
• B． （-e²+2e，+∞）
• C． （0，e²-2e）
• D． （-∞，-e²+2e）
  
  第Ⅱ卷

Answer 1

分析 条件可化为方程m=x²-2ex+x+$\frac{{e}^{2}}{x}$有2个不等实数根，即直线y=m 和函数y=x²-2ex+x+$\frac{{e}^{2}}{x}$的图象在（0，+∞）上有两个不同的交点．利用导数求得m的最小值为m（e）=2e-e²，可得m的范围．

解答 解：∵x＞0，函数f（x）=-x³+2ex²-x²+mx-e² =mx-（x³-2ex²+x²+e² ），
若f（x）=0有两个相异实根，则 mx=（x³-2ex²+x²+e² ）在（0，+∞）上有2个不等实数根，
即m=x²-2ex+x+$\frac{{e}^{2}}{x}$有2个不等实数根，
即直线y=m 和函数y=x²-2ex+x+$\frac{{e}^{2}}{x}$的图象在（0，+∞）上有两个不同的交点．
由于 m′=$\frac{（x-e）•（{2x}^{2}+x_e）}{{x}^{2}}$，故在（0，e）上，m′＜0，∴m=x²-2ex+x+$\frac{{e}^{2}}{x}$在（0，e）上是减函数，
在（e，+∞）上，m′＞0，m=x²-2ex+x+$\frac{{e}^{2}}{x}$在（e+∞）上是增函数，故m的最小值为m（e）=2e-e²．
若使f（x）=0有两个相异实根，则m＞-e²+2e．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的零点的判断，方程根的存在性以及个数判断，属于中档题．