Question

4．已知数列{a_n}，{b_n}前n项和分别为S_n，T_n，a_n+1-a_n=2（b_n+1-b_n），b₁=3，S_n=n²+2n+3，则T_n=$\frac{1}{2}$（n²+2n+3）．（n∈N*）．

Answer 1

分析 运用数列的递推式：n=1时，a₁=S₁，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可得数列{a_n}的通项公式，求出b₂，b_n，运用等差数列的求和公式求得T_n，注意项数n．

解答 解：S_n=n²+2n+3，
可得n=1时，a₁=S₁=6，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n+3-（n-1）²-2（n-1）-3=2n+1．
由a_n+1-a_n=2（b_n+1-b_n），
n=1时，可得a₂-a₁=2（b₂-b₁），
即为5-6=2（b₂-3），
可得b₂=$\frac{5}{2}$，
当n≥2时，由a_n+1-a_n=2（b_n+1-b_n），
可得b_n+1-b_n=$\frac{1}{2}$×2=1，
则b_n=$\frac{5}{2}$+（n-2）=n+$\frac{1}{2}$（n≥2），
则T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=3+$\frac{5}{2}$+…+n+$\frac{1}{2}$
=3+$\frac{1}{2}$（n-1）（n+3）=$\frac{1}{2}$（n²+2n+3）．（n∈N*）．
故答案为：$\frac{1}{2}$（n²+2n+3）．（n∈N*）．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，注意运用数列的递推式：n=1时，a₁=S₁，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，考查化简整理的运算能力，属于中档题和易错题．