Question

13．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sin（x+\frac{π}{4}）$，x∈R
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）已知A、B、C是△ABC的内角，且满足$f（B）=\sqrt{3}$，求$\sqrt{2}$cosA+cosC 的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函数的单调区间，求f（x）的单调增区间；
（2）利用$A+C=\frac{3}{4}π$，将所求式转换，即可求$\sqrt{2}$cosA+cosC 的最大值．

解答 解：（1）令$-\frac{π}{2}+2kπ≤x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，得$-\frac{3π}{4}+2kπ≤x≤\frac{π}{4}+2kπ，k∈Z$
∴f（x）的单调增区间是$[-\frac{3π}{4}+2kπ，\frac{π}{4}+2kπ]（k∈Z）$…（5分）
（2）$f（B）=\sqrt{3}$，即$sin（B+\frac{π}{4}）=1$，因为角B是三角形的内角，所以B=$\frac{π}{4}$…（6分）
∵A+B+C=π，∴$A+C=\frac{3}{4}π$…（7分）
∴$\sqrt{2}cosA+cosC$=$\sqrt{2}cosA+（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}cosA）+\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinA$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}cosA+\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinA$=$sin（A+\frac{π}{4}）$（10分）
∵$A+C=\frac{3}{4}π$∴$A\;∈\;（0，\frac{3}{4}π）$…（11分）
∴$A+\frac{π}{4}\;∈\;（\frac{π}{4}，π）$…（12分）
∴$sin（A+\frac{π}{4}）$最大值为1，即$\sqrt{2}cosA+cosC$最大值为1      …（14分）

点评 本题考查三角函数的图象与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．