Question

已知二次函数f（x）的图象顶点为A（0，15），且图象在x轴上截得线段长为8．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明：函数f（x）在（1，+∞）上是减函数
（3）若g（x）=|f（x）|，试画出函数g（x）的图象（只画草图）．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据题意设出函数式子f（x）=a（x-4）（x+4）=a（x²-16），利用A（0，15）求解即可．（2）根据单调性定义作差证明．（3）画出函数图象判断即可．

解答： 解：（1）∵二次函数f（x）的图象顶点为A（0，15），且图象在x轴上截得线段长为8．
∴设f（x）=a（x-4）（x+4）=a（x²-16），f（0）=15，
∴a=-

15

16

，
∴f（x）=-

15

16

x²+15，
（2）∵设1＜x₁＜x₂，f（x₁）=-

15

16

x₁²+15，f（x₂）=-

15

16

x₂²+15，
∴f（x₁）-f（x₂）=-

15

16

（x₁+x₂）（x₁-x₂），
∵x₁+x₂＞2，x₁-x₂＜0
∴

15

16

（x₁+x₂）（x₁-x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在（1，+∞）上是减函数
（3）g（x）=|f（x）|，

点评：本题考查了二次函数的性质，解析式的特征，待定系数思想，画函数的图象，属于中档题．