Question

已知A（-2，0），B（2，0）为坐标平面上两个定点，动点M在x轴上的射影为N，且满足|MN|²=4|AN|•|BN|．
（1）在平面直角坐标系中画出动点M的轨迹；
（2）是否存在过原点的直线l，它与（1）中轨迹有4个公共点，且相邻公共点之间的距离都相等？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出M的坐标，代入|MN|²=4|AN|•|BN|，然后分类求得M的轨迹方程；
（2）设直线方程存在为y=kx，由题意可得直线与椭圆、双曲线交点横坐标的关系式，分别联立直线和双曲线方程及直线和椭圆方程，求出点的横坐标，代入关系式即可求得k值．

解答： 解：（1）设M（x，y），则由题意，可得y²=4|（x+2）||（x-2）|，
当x∈（-∞，-2]∪[2，+∞）时，化为

x2

4

-

y2

16

=1；
当x∈（-2，2）时，化为

x2

4

+

y2

16

=1．
轨迹如图所示：

（2）设直线方程为y=kx，它与上图的交点自下而上分别为A，B，C，D，
设C（x_C，y_C），D（x_D，y_D），
则OC=

1

3

OD，可得xC=

1

3

xD，
∴xC2=

1

9

xD2，
联立

y=kx x2 4 + y2 16 =1

，解得xC2=

16

4+k2

，
联立

y=kx x2 4 - y2 16 =1

，解得xD2=

16

4-k2

，
代入xC2=

1

9

xD2，解得k=±

4 5

5

．
∴存在过原点的直线l：y=±

4 5

5

x，它与（1）中轨迹有4个公共点，且相邻公共点之间的距离都相等．

点评：本题考查了圆锥曲线的轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．